Bukti Andai √7 bilangan rasional, maka dapat kita tulis √7=a/b dengan a,b∈Z dan b≠0 serta a,b tidak memiliki faktor persekutuan selain 1. Sehingga diperoleh: √7=a/b ⇔7= a^2/b^2 ⇒a^2=7b^2. Berarti a^2 habis dibagi 7. Karena itu a juga habis dibagi 7, sehingga kita dapat menulis a=7k dengan k∈Z ,k≠0. Mentokngerjain soal? Foto aja pake aplikasi CoLearn. Anti ribet Program Belajar dari Rumah TVRI pada Kamis, 10 September 2020 membahas mengenai Tanda Sama Dengan, Bilangan Genap dan Ganjil, Bilangan yang Hilang untuk siswa SD Kelas 1-3.. Dalam tayangan tersebut, terdapat tiga pertanyaan. Berikut salah satu pertanyaannya: Soal: Coba buat 2 soal penjumlahan yang hasilnya bilangan genap dan 2 soal A Pengertian Sistem Persamaan Linear Satu Variabel (SPLSV) Sistem persamaan linear satu variabel (SPLSV) adalah bentuk kalimat terbuka dari persamaan dengan satu variabel (PLSV) dalam sistem linear sebagai solusi umum dari persamaan terkait dalam sistem tersebut. Sistem ini juga sering disebut dengan SPLSV atau dalam bahasa inggris " System of a 1 + 2 + 3 + n = 210 c. 1 + 3 + 5 + + (2n – 1 ) = 900 b. 2 + 4 + 6 + 2n = 650 8. Tentukan jumlah semua bilangan bulat yang : a. Terletak antara 10 dan 40 yang habis dibagi 3 b. Terletak antara 100 dan 500 yang habis dibagi 6 c. Terletak antara 1 dan 150 yang habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 5 B. Barisan dan Deret Geometri INDUKSIMATEMATIKA. A. Induksi Matematika Pada Pembuktian Rumus Dalam kehidupan sehari hari, kita sering mengambil suatu kesimpulan berdasarkan data-data yang sudah ada. Kesimpulan tersebut belum valid, karena masih bersifat dugaan (hipotesa) Kesimpulan akan lebih valid jika hipotesa tersebut diuji berdasarkan fakta yang sudah ada. Cara seperti ini merupakan inti dari SoalInduksi Matematika. 1) Prinsip Induksi Matematika (Lemah) Prinsip ini dinyatakan dengan P (n) adalah suatu pernyataan tentang suatu bilangan asli n, dan q adalah suatu bilangan asli yang tertentu (fixed). Maka bukti induktif bahwa P (n) adalah benar untuk semua n ≥ q dilakukan melalui 2 (dua) langkah berikut: BenzoatC 7 H 6 O 2 (atau C 6 H 5 COOH), adalah padatan kristal berwarna putih dan merupakan asam karboksilat aromatik yang paling sederhana. Asam lemah ini beserta garam turunannya, digunakan sebagai pengawet makanan. Benzoat bisa menyebabkan dampak negative pada penderita asma dan bagi orang yang peka terhadap aspirin, juga bisa memicu terjadinya . Mari kita membuktikan menggunakan induksi matematika! D Soal Buktikan dengan induksi matematika bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk setiap bilangan asli $n$. Pembahasan Ingat ya yang dimaksud dengan bilangan asli itu disimbolkan dengan $\mathbb{N}$ adalah $1,2,3,4,5$,.., dst. Untuk membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk setiap bilangan asli $n$ dengan metode induksi matematika, kita harus melakukan 3 langkah berikut. Langkah Pembuktian ke-1 Buktikan Berlaku untuk $n = 1$. Pada langkah ini, kita harus membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk $n= 1$. Caranya? Ya, substitusikan saja $n=1$ ke $n^3-n$. Kita akan memperoleh $\begin{split} n^3 - n &= 1^3 - 1 \\ &= 1 - 1 \\ &= 0 \end{split}$ Jelas sekali ya bahwa $0$ itu kan habis dibagi dengan $3$. Jadi, pada langkah ke-1 ini kita sudah berhasil membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk $n= 1$. Mari kita berbahagia sebentar. Hahaha. D Untuk membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk $n=2,3,4,5,6...$ dst ya... silakan simak kelanjutan pembuktian di bawah! D Langkah Pembuktian ke-2 Diasumsikan Berlaku untuk suatu $n = p$. Pada langkah ini, kita mengasumsikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk suatu bilangan asli $n$ yang bernilai $p$. Dengan kata lain, terdapat suatu bilangan asli $p$, sedemikian sehingga $p^3 - p$ habis dibagi $3$. Ingat ya! Ini baru asumsi lho! Asumsi itu adalah sesuatu yang diyakini kebenarannya, tapi belum terbukti benar. Intermeso Selingan Proses Pembuktian Progress kita sejauh ini Kita berhasil membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk nilai $n = 1$. Kita mengasumsikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk suatu nilai $n=p$. Pada intemeso alias selingan proses pembuktian ini, kita akan mengulik sedikit perihal bentuk $n^3 -n$. Perhatikan bahwa $n^3-n$ itu kan bisa difaktorkan. Ya toh? D Nah, jika $n^3 -n$ difaktorkan, akan diperoleh $n^3 - n = n-1\cdotn\cdotn+1$ Perhatikan bahwa untuk sebarang bilangan asli $n$, akan berlaku $n \neq n-1$. Ya toh? Untuk sebarang bilangan asli $n$, kita juga dapat menyatakan bahwa $n \neq n+1$. Ya toh? Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa $n$, $n-1$, dan $n+1$ adalah $3$ bilangan asli yang berbeda. Ya tidak? D Dari sifat-sifat di atas, kita dapat menyatakan suatu sifat baru ini. Jika bilangan $n$, $n-1$, dan $n+1$ kita kalikan, kemudian terdapat suatu bilangan asli $x$ yang membagi habis hasil perkalian $3$ bilangan tersebut, maka salah satu dari $n$, $n-1$, atau $n+1$ pastilah kelipatan $x$. Kita akan menggunakan sifat di atas pada Langkah Pembuktian ke-3. Intermeso selesai sampai di sini. Mari, sekarang kita kembali ke langkah utama pembuktian. Langkah Pembuktian ke-3 Buktikan Berlaku untuk $n = p + 1$. Pada langkah ini, kita harus membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk $n = p + 1$. Sebelumnya, ingat bahwa pada bagian Intermeso, kita dapat memfaktorkan $n^3 - n$ menjadi $n-1\cdotn\cdotn+1$. Dengan demikian, dengan mensubstitusikan $n=p+1$ ke $n-1\cdotn\cdotn+1$, kita akan memperoleh $\begin{split} n^3 - n &=n-1\cdotn\cdotn+1 \\ &= p+1 - 1\cdotp+1\cdotp+1+1\\ &= p\cdotp+1\cdotp+2 \\ \end{split}$ Jadi, membuktikan bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk $n = p + 1$ ekuivalen dengan membuktikan bahwa $p\cdotp+1\cdotp+2$ habis dibagi $3$. *** Selanjutnya, bagaimanakah cara membuktikan bahwa $p\cdotp+1\cdotp+2$ habis dibagi $3$? Ingat! Pada Langkah Pembuktian ke-2, kita mengasumsikan bahwa $p^3 - p$ habis dibagi $3$. Karena $p^3 - p$ dapat difaktorkan menjadi $p-1\cdotp\cdotp+1$, maka asumsi bahwa $p^3 - p$ habis dibagi $3$ akan ekuivalen dengan asumsi bahwa $p-1\cdotp\cdotp+1$ habis dibagi $3$. Perhatikan bahwa $p$, $p-1$, dan $p+1$ adalah tiga bilangan asli yang berbeda. Oleh sebab itu, karena asumsi $p-1\cdotp\cdotp+1$ habis dibagi $3$, menurut sifat di dalam kotak biru di bagian Intermeso, kita dapat menyimpulkan bahwa Salah satu dari $p$, $p-1$, atau $p+1$ adalah kelipatan $3$. Bisa jadi, $p$ adalah kelipatan $3$. Bisa jadi, $p-1$ adalah kelipatan $3$. Bisa jadi, $p+1$ adalah kelipatan $3$. Pokoknya, salah satu dari $p$, $p-1$, atau $p+1$ adalah kelipatan $3$. Mari kita cermati tiga kemungkinan tersebut satu per satu. *** Kemungkinan Pertama $p$ adalah kelipatan $3$. Pada kemungkinan ini, $p$ adalah bilangan asli kelipatan $3$. Ingat! Misi utama kita pada Langkah Pembuktian ke-3 ini adalah membuktikan bahwa $p\cdotp+1\cdotp+2$ habis dibagi dengan $3$. Perhatikan! Karena $p$ adalah salah satu faktor dari $p\cdotp+1\cdotp+2$, maka dapat kita simpulkan bahwa $p\cdotp+1\cdotp+2$ merupakan bilangan asli kelipatan $3$. Dengan kata lain, $p\cdotp+1\cdotp+2$ habis dibagi $3$. Jadi, jika $p$ merupakan bilangan asli kelipatan $3$, maka $p\cdotp+1\cdotp+2$ akan habis dibagi $3$. Kemungkinan Kedua $p-1$ adalah kelipatan $3$. Pada kemungkinan ini, $p-1$ adalah bilangan asli kelipatan $3$. Oleh sebab itu, $p-1 + 3 = p+2$ juga merupakan bilangan asli kelipatan $3$ dong? Ingat! Misi utama kita pada Langkah Pembuktian ke-3 ini adalah membuktikan bahwa $p\cdotp+1\cdotp+2$ habis dibagi dengan $3$. Perhatikan! Karena $p+2$ adalah salah satu faktor dari $p\cdotp+1\cdotp+2$, maka dapat kita simpulkan bahwa $p\cdotp+1\cdotp+2$ merupakan bilangan asli kelipatan $3$. Dengan kata lain, $p\cdotp+1\cdotp+2$ habis dibagi $3$. Jadi, jika $p-1$ merupakan bilangan asli kelipatan $3$, maka $p\cdotp+1\cdotp+2$ akan habis dibagi $3$. Kemungkinan Ketiga $p+1$ adalah kelipatan $3$. Pada kemungkinan ini, $p+1$ adalah bilangan asli kelipatan $3$. Ingat! Misi utama kita pada Langkah Pembuktian ke-3 ini adalah membuktikan bahwa $p\cdotp+1\cdotp+2$ habis dibagi dengan $3$. Perhatikan! Karena $p+1$ adalah salah satu faktor dari $p\cdotp+1\cdotp+2$, maka dapat kita simpulkan bahwa $p\cdotp+1\cdotp+2$ merupakan bilangan asli kelipatan $3$. Dengan kata lain, $p\cdotp+1\cdotp+2$ habis dibagi $3$. Jadi, jika $p+1$ merupakan bilangan asli kelipatan $3$, maka $p\cdotp+1\cdotp+2$ akan habis dibagi $3$. *** Dari pembuktian panjang di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa Jika $p$ adalah kelipatan $3$, maka $p\cdotp+1\cdotp+2$ akan habis dibagi dengan $3$. Jika $p-1$ adalah kelipatan $3$, maka $p\cdotp+1\cdotp+2$ akan habis dibagi dengan $3$. Jika $p+1$ adalah kelipatan $3$, maka $p\cdotp+1\cdotp+2$ akan habis dibagi dengan $3$. Dengan kata lain Berdasarkan asumsi bahwa $p-1\cdotp\cdotp+1$ habis dibagi dengan $3$, akan berlaku benar bahwa $p\cdotp+1\cdotp+2$ akan habis dibagi dengan $3$. Pernyataan di atas ekuivalen dengan Berdasarkan asumsi bahwa $p^3 - p$ habis dibagi dengan $3$, akan berlaku benar bahwa $p+1^3 - p+1$ akan habis dibagi dengan $3$. Kesimpulan Berdasarkan Langkah Pembuktian ke-1 hingga ke-3, kita dapat menyimpulkan benar bahwa $n^3 - n$ habis dibagi $3$ untuk setiap bilangan asli $n$. Jawabn Terbukti bahwa 3^4n -1 habis dibagi 80 untuk setiap n bilangan soalBuktikan bahwa 3^4n - 1 habis dibagi 80 untuk setiap n bilangan pembuktian dengan induksi matematikaBuktikan benar untuk n = 1Asumsikan benar untuk n = k buktikan benar untuk n = k +1 Untuk n = 23^ - 1 = 3^4 - 1 = 81 - 1 = 80-> 80 habis dibagi 80Maka terbukti benar untuk n = 1Asumsikan benar untuk n = k maka3^4k -1 = 80m untuk suatu mAkan dibuktikan benar untuk n = k +13^4k+1 - 1= 3^4k+4 - 1= 3^4k.3^4 - 1= 3^4 . 3^4k - 1= 81 . 3^4k - 1= 80. 3^4k + 3^4k - 1= 80 . 3^4k + 80m= 803^4k + mMaka 3^4k+1 - 1 adalah kelipatan 80, sehingga terbukti benar untuk n = k + 1Dengan demikian terbukti bahwa 3^4n -1 habis dibagi 80 untuk setiap n bilangan asli.